Цифры и числа — что это такое, какими они бывают и чем отличаются?

Основы (для начальных классов).

Что такое цифры?

Цифры – это особые символы, с помощью которых мы записываем числа. В нашей привычной десятичной системе счисления есть всего десять таких символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая цифра сама по себе не показывает количество предметов, но является письменным знаком, условным обозначением, которое позволяет записать число, то есть получить его графическое изображение. Например, цифра 5 – это знак, которым мы записываем число пять.

Можно сказать, что цифры – это “буквы”, из которых “составляются” числа, примерно так же, как из букв составляются слова​.

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 могут являться либо цифрами, либо числами. Например, если мы смотрим на наклейку на двери квартиры и видим там «9» — то это число, которое состоит из одной цифры («9»). Если же мы видим там «19», то 19 — это число, а «1» и «9» — цифры, из которых это число состоит.

Что такое числа?

Числа – это понятия, которые показывают количество или порядок. Число – одна из самых важных идей в математике​. Числа используются, чтобы считать «сколько» чего-то, сравнивать величины (что больше, что меньше) и для нумерации (например, обозначать номера домов или страниц)​. Число можно представить разными способами: записать арабскими или римскими цифрами (например, «5» или «V»), написать словом («пять») или показать пятью пальцами руки – всё это представления одного и того же числа.

Зачем нужны цифры и числа в повседневной жизни?

В жизни без чисел не обойтись. С самого утра мы сталкиваемся с ними: на часах цифры показывают время, в календаре – дату. С помощью чисел мы считаем предметы (например, яблоки или книги), измеряем длину, вес и температуру, указываем номера телефона, автобуса или квартиры. В магазине цены обозначаются числами – они показывают, сколько что-то стоит​. Без умения понимать числа было бы трудно узнать свой возраст или расстояние до школы. Цифры нужны нам, чтобы записывать все эти числа и легко ими пользоваться.

Чем цифры отличаются от чисел?

Цифры и числа – не одно и то же, хотя связаны между собой. Цифра – это одиночный знак, символ. Число же может состоять из одной или нескольких цифр и обозначает количество или порядок. Например, в числе 45 две цифры: 4 и 5. Цифра «4» сама по себе означает четыре, а число 45 означает сорок пять – то есть 4 десятка и 5 единиц. Кроме того, с числами можно выполнять математические действия (складывать, вычитать и т.д.), а с отдельной цифрой – нет​. Число может быть большим или маленьким, чётным или нечётным, может обозначать сколько угодно предметов. Цифр же ограниченное количество – в десятичной системе их десять.​ Но именно из этих нескольких символов мы записываем бесконечно много разных чисел!

Углубленный материал (для средней и старшей школы).

Основные свойства и характеристики чисел.

У чисел есть различные свойства, которые изучают в математике. Вот некоторые из них:

• Чётность и нечётность: Если число делится на 2 без остатка, оно называется чётным (например, 2, 4, 6, 8). Если при делении на 2 остаётся остаток, число нечётное (1, 3, 5, 7 и т.д.)​. Например, 10 – чётное число, а 11 – нечётное.
• Простые и составные числа: Простое число – это натуральное число больше 1, которое делится без остатка только на 1 и само на себя. Например, 2, 3, 5, 7 – простые числа. Число, которое имеет больше двух делителей, называется составным (например, 4 = 2×2, 6 = 2×3, 8 = 2×2×2 и т.д.).
• Положительные, отрицательные и ноль: Числа больше нуля называют положительными, числа меньше нуля – отрицательными. Отдельно стоит ноль (0) – он не считается ни положительным, ни отрицательным, а играет особую роль. Например, +5 – положительное число, –3 – отрицательное, а 0 – ни то ни другое​. Для любого положительного числа есть противоположное отрицательное: например, противоположным для +7 будет –7​.
• Делимость: Говорят, число A делится на число B, если результат деления – целое число без остатка. Например, 15 делится на 5 (результат 3), а 16 не делится на 5 (результат 3 с остатком 1). Признаки делимости помогают быстро определить, делится ли число на 2, 3, 5, 9 и т.д. (например, если последняя цифра числа – 0, 2, 4, 6 или 8, то число делится на 2 без остатка​).

Каждое число можно охарактеризовать сразу по нескольким свойствам. Например, число 8 – чётное, составное, положительное. Число 7 – нечётное, простое, положительное. Такие характеристики помогают лучше понять, с каким числом мы имеем дело.

Основные типы чисел.

В математике все числа разделяют на несколько множеств (категорий). Эти множества связаны между собой: каждое следующее – это расширение предыдущего. Ниже перечислены основные типы чисел:

• Натуральные числа – это числа, которые используются для счёта предметов: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее​. Натуральные числа – это 1, 2, 3, 4, … до бесконечности. Ими мы считаем объекты («у меня 3 карандаша»). Заметим, что вопрос включения нуля в натуральные числа зависит от традиции: в российской школьной программе обычно натуральными считают 1, 2, 3,…, а 0 относят к целым числам, тогда как в некоторых странах 0 тоже считают натуральным числом​. Множество натуральных чис обычно обозначается буквой N.
• Целые числа – это расширение натуральных: сюда входят все натуральные числа, а также ноль и отрицательные целые (–1, –2, –3, …). То есть целые числа – …, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …​ Множество целых чисел обозначается буквой Z. Целые числа нужны, например, чтобы выражать долги или температуру ниже нуля (–5 °C и т.п.).
• Рациональные числа – это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное (не равное нулю). Проще говоря, рациональные – это все числа, которые можно записать в виде обычной или десятичной дроби (конечной или периодической)​. Например, 1/2 (0,5), 3/4 (0,75) или 2,333… (2 + 1/3) – рациональные числа. Все целые числа тоже считаются рациональными, потому что, например, 5 = 5/1. Множество рациональных чис обозначается буквой Q.
• Иррациональные числа – это вещественные числа, которые нельзя представить обыкновенной дробью. Их десятичное представление бесконечно и не имеет повторяющегося периода​. Классический пример – число √2 (корень из 2). Доказано, что √2 ≈ 1,41421356… и его десятичные знаки не образуют периодической последовательности, то есть оно не равно ни одной точной дроби. Другие примеры иррациональных чисел: число π = 3,14159… или золотое сечение ≈ 1,61803…. Множество иррациональных чис часто обозначают буквой I (или включают в R, см. ниже).
• Действительные (вещественные) числа – это все числа на бесконечной непрерывной числовой прямой. Множество R включает в себя и рациональные, и иррациональные числа​. Если представить шкалу всех возможных величин (длину, вес и т.д.), то действительные числа – это все отметки на этой шкале. Любое действительное число можно записать десятичной дробью (либо конечной, либо бесконечной). Например, 2,5; –3,14; 0; √2 – все это действительные числа.
• Комплексные числа – наиболее широкий класс чисел, используемый в математике. Комплексное число имеет вид a + b·i, где a – действительная часть, b – мнимая часть, а i – особая мнимая единица, для которой определено свойство i2=−1i^2 = -1i2=−1​. Комплексные числа расширяют понятие числа, чтобы включить решения некоторых уравнений, которые не имеют решений среди действительных чис. Например, уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в вещественных числах (квадрат любого действительного числа не может дать –1), но в комплексных числах есть решения: x=ix = ix=i или x=−ix = -ix=−i. Комплексные числа обозначаются буквой C. Все действительные числа считаются частным случаем комплексных (при b = 0)​.

Системы счисления (двоичная, десятичная, шестнадцатеричная).

Числа можно записывать по-разному. Привычная нам запись с помощью десяти цифр – это десятичная система счисления, основание которой равно 10. Существуют и другие системы счисления. Система счисления – это способ представления чисел с помощью определённого набора цифр и правил. Рассмотрим три важные системы:

• Десятичная система. Это наша повседневная система счисления с основанием 10. В ней используются десять цифр (0–9)​. Система позиционная, что значит: значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда). Например, в числе 742 цифра 7 стоит в разряде сотен (означает 700), 4 – в разряде десятков (40), 2 – в разряде единиц (2). Число равно сумме этих значений: 700 + 40 + 2 = 742. Когда мы доходим до 9 и хотим записать число больше, вводится новый разряд слева, а правый разряд начинается заново с 0​. Так после 9 идёт 10, после 99 – 100 и т.д.
• Двоичная система. Это система счисления с основанием 2, используемая в компьютерах. В двоичной системе есть всего две цифры: 0 и 1​. Числа записываются с помощью только этих двух символов. Например, двоичное число 1011₂ – это запись некоторого числа в базе 2. Чтобы понять, какое это десятичное число, можно выполнить вычисление по разрядам: 1011₂ = 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀. Таким образом, 1011₂ в десятичной системе равно 11. Двоичная система важна, потому что компьютер внутри оперирует состояниями «включено/выключено», соответствующими 1 и 0. Каждый такой двоичный разряд называется бит. Поскольку людям трудно читать длинные последовательности из 0 и 1, используют также шестнадцатеричную систему для более удобного представления двоичных данных.
• Шестнадцатеричная система. Эта система имеет основание 16. В ней используется 16 различных символов-цифр: привычные 0–9 и дополнительно буквы A, B, C, D, E, F (они обозначают значения 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно)​. Например, шестнадцатеричное число 7B₁₆ расшифровывается так: 7B₁₆ = 7×16¹ + B×16⁰ = 7×16 + 11×1 = 112 + 11 = 123₁₀ (здесь B это 11). Шестнадцатеричная система широко используется в программировании и компьютерной технике​. Дело в том, что один байт (минимальная единица информации, 8 бит) удобно представить двумя шестнадцатеричными цифрами​. Например, байт, хранящий число 255, в двоичной форме это 11111111₂, а в шестнадцатеричном виде запишется как FF₁₆. Шестнадцатеричная запись короче и более наглядна для человека, поэтому её применяют для отображения данных (цветов в веб-дизайне, кодов символов Юникода, адресов памяти и т.д.).

Каждая система счисления имеет свою область применения, но принцип у позиционных систем общий. Можно перевести число из одной системы в другую, если понять значение разрядов. В информатике важно уметь это делать, чтобы свободно оперировать как двоичными данными, так и их представлением для человека (например, шестнадцатеричным).

Роль чисел в математике и науке.

Числа – фундамент математики. С их помощью выражаются законы и формулы, проводятся вычисления. Любая область математики опирается на понятие числа или связана с ним (арифметика изучает свойства чисел, алгебра – операции с числами, анализ – предельные переходы с числами, теория чисел непосредственно исследует разные виды чисел и их отношения и т.д.). В математике числа – это язык, на котором записываются задачи и решения. В науке числа играют не менее важную роль. Измерение практически любой величины происходит при помощи чисел. Температура воздуха, скорость автомобиля, масса тела, время суток – все эти свойства мы выражаем числами. Формулы в физике и химии содержат числовые коэффициенты и показатели. Без чисел и измерений наука не могла бы количественно описывать явления. Например, в физике с помощью чисел выражены фундаментальные константы природы: скорость света ~ 3×10^8 м/с, заряд электрона ~ 1.6×10^(-19) Кл и др. Числа позволяют сравнивать результаты экспериментов, делать расчёты для прогнозов. В технике и инженерии точные числа необходимы для создания и управления механизмами (от расчёта конструкции здания до программирования компьютера). Можно сказать, что числа – универсальный язык науки, понятный ученым всего мира. Если описание опыта или закономерности выразить в числах и формулах, другие исследователи смогут это проверить и понять одинаково. Поэтому изучение свойств чисел – не только математическая задача, но и основа для всех количественных наук.

Интересные факты.

Интересные факты про числа.

1. Счастливые и несчастливые числа в разных культурах. В некоторых странах определённым числам приписывают особый смысл. Например, в Китае, Корее и Японии число 4 считается несчастливым, потому что звучит похоже на слово «смерть»​. В этих странах вы почти не встретите четвёртого этажа или дома №4 – нумерация пропускает эту цифру. В западных странах «нехорошим» числом часто называют 13 (многие люди избегают назначать встречи на 13-е число или жить в доме №13). В Италии помимо страха перед 13 распространено суеверие вокруг числа 17 – отчасти из-за того, что на могилах древних римлян нередко была надпись VIXI (по-латински «я жил», то есть «моя жизнь окончена»), а буквами это также можно прочитать как число 17 (VIXI = V + IX + I = 5 + 9 + 1)​. В противоположность этому, число 7 во многих культурах считается счастливым и «магическим». 7 дней в неделе, 7 цветов радуги, 7 нот в музыке – семёрка окружает нас повсюду. Существует даже поверье, что седьмой сын седьмого сына обладает особыми талантами. Неудивительно, что во всем мире именно 7 чаще всего называют любимым числом​.
2. 0 – особенное число. Ноль играет уникальную роль в математике. Исторически понятие нуля появилось не сразу – в римской системе счисления, например, не было отдельного символа для нуля​. Зато введение цифры 0 в индийско-арабской системе позволило создавать большие числа и выполнять вычисления гораздо удобнее. В современной математике 0 – нейтральный элемент для сложения (добавление нуля не меняет число) и особый «поглотитель» для умножения (любое число, умноженное на 0, даёт 0)​. Ноль считается чётным числом (так как 0 делится на 2) и разделяет положительные и отрицательные числа. В разных традициях математики решается по-разному, считать ли 0 натуральным числом: в России обычно не считают (натуральные начинаются с 1), а в западной литературе 0 включают в множество натуральных чисел​. Ещё любопытно, что в летоисчислении нет нулевого года – подряд идут 1 год до н.э., затем 1 год н.э. (не было года с номером 0)​.
3. Число π (пи) – бесконечное и удивительное. π ≈ 3,14159… – возможно, самое известное число в мире. Это математическая константа, равная отношению длины окружности к диаметру. Интересный факт: если записать π в виде десятичной дроби, цифры после запятой никогда не заканчиваются и не образуют повторяющейся последовательности (π – иррациональное число)​. Миллионы знаков π уже вычислены с помощью компьютеров, и ни один фрагмент не повторяется полностью. Число π присутствует во многих формулах геометрии, анализа, физики. Его используют даже при вычислении вероятностных процессов и в статистике (например, распределение Гаусса содержит π). А еще любопытно, что знаменитая пирамида Хеопса в Египте имеет пропорции, близкие к π: отношение периметра основания пирамиды к её высоте примерно равно 2π (что делает высоту соответствующей окружности диаметра основания)​.
4. Огромные числа: гугол и гуголплекс. Представьте число единица со ста нулями. В математике такое число называется гугол (10^100). Это слово придумал в 1920-х годах девятилетний племянник математика Эдварда Каснера – в шутку, чтобы описать очень большое число. Позже в честь него назвали известную поисковую систему Google (слегка изменив написание)​. Но есть число и побольше – гуголплекс, это 10 в степени гугол (то есть 10^(10^100)). Оно столь огромное, что практически непостижимо. Говорят, что если заполнить весь наблюдаемый Вселенной листками бумаги, исписанными нулями, то получится лишь ничтожная часть числа гуголплекс​! Конечно, в реальных задачах такие числа почти не используются, но математики изучают свойства бесконечно больших величин и порядок роста функций, где вспоминают и про гугол с гуголплексом.
5. Особенности названий чисел. В разных языках и системах счисления большие числа назывались по-разному. Например, центильон – это число 1 с 600 нулями (в одной из долгих европейских шкал наименований)​. А во французском языке есть своя особенность: числа 70, 80, 90 называются нестандартно. 70 по-французски – soixante-dix («шестьдесят и десять»), 80 – quatre-vingts («четыре по двадцать»), 90 – quatre-vingt-dix («четыре по двадцать и десять»)​. В Бельгии и Швейцарии, правда, используют более привычные названия (типа septante для 70, octante/huitante для 80, nonante для 90). Интересно проследить, как исторически складывались названия – например, русское слово «сорок» изначально значило связку из 40 шкур, поэтому в языке закрепилось особое название для 40, не по шаблону «четыре-десят»​.

Интересные факты про цифры.

1. Происхождение слова «цифра». Русское слово «цифра» пришло из арабского языка​. В арабском слово «сифр» означало «ноль» или «пусто» – так называли знак, показывающий отсутствие разряда. Европейцы заимствовали это слово сначала как zephirum, затем cifra на латинском, и в итоге оно превратилось в «цифру». Интересно, что и английское cipher (шифр) – однокоренное слово. Так исторически название знака нуля дало имя всем числовым знакам. Кстати, древние люди долгое время обходились без нуля: например, у римлян не было никакого символа для нуля​.
2. Арабские и римские цифры – и почему у римлян не было нуля. Мы пользуемся так называемыми арабскими цифрами 0–9, которые на самом деле были изобретены в Индии и через арабских учёных попали в Европу​. В арабских странах тоже используют десятичную систему, но записывают цифры иначе (у них свой начертание цифр). При этом, любопытно, что когда арабы пишут числа, они записывают разряды справа налево, как и текст. Но поскольку наиболее значимый разряд оказывается слева, нам с привычным чтением слева направо число выглядит так же, как и должно​. Что касается римских цифр, то это совсем другая система: она непозиционная, основанная на комбинации буквенных символов I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000). Римляне сочетали эти символы для образования чисел (например, II = 2, IX = 9, XIII = 13, XV = 15, XL = 40, etc.). Но в римской системе не было понятия нуля – число ноль они просто никак не записывали​. Иногда вместо нуля писали слово nulla («ничего») или букву N​, но полноценной цифры «0» не существовало. Поэтому римские цифры неудобны для вычислений – например, нельзя легко записать результат 10 — 10. Интересный факт: на циферблатах часов с римскими цифрами число 4 часто обозначают как IIII вместо IV (так сделано для симметрии или по историческим причинам)​
3. Цифр всего десять, а чисел бесконечно много. В десятичной системе у нас лишь 10 разных цифр, однако из этих «кирпичиков» можно построить сколько угодно чисел​. Добавляя новые разряды, мы получаем всё большие и большие числа, теоретически процесс бесконечен. Нет «самого большого числа» – как только вы назовёте самое большое придуманное число, всегда можно прибавить единицу и получить ещё больше. Это удивительное свойство позиционной системы: ограниченный набор символов позволяет выразить бесконечное множество количеств. Для сравнения, в буквенном алфавите тоже ограниченное число букв, но из них составляется бесконечно много разных слов. Кстати, один из главных вопросов с подвохом на тему цифр и чисел звучит так: «Какая самая большая в мире цифра?». Некоторые люди называют нечто вроде «секстиллион», «бесконечность» или просто отвечают «не знаю». Правильный ответ — 9. Это самая большая цифра.
4. Закон Бенфорда – загадка первых цифр. Статистика показывает, что в реальных данных цифры распределяются не случайно. Существует закон Бенфорда: в многих наборах чисел (например, статистика городского населения, финансовые показатели, результаты выборов) первая цифра числа скорее окажется небольшой (1, 2 или 3), чем большой. Цифра 1 встречается в начале числа примерно в 30% случаев, а, скажем, 9 – менее чем в 5% случаев​. Такой перекос объясняется математически и наблюдается во многих естественных данных. Этот факт даже используют на практике: проверяют финансовые отчёты на соответствие закону Бенфорда, чтобы выявлять возможные фальсификации​. Если цифры встречаются «слишком ровно», это вызывает подозрение. Забавно, что математика цифр помогает ловить мошенников!
5. Современные цифровые технологии и цифры. Слово «digital» (цифровой) напрямую связано со словом «digit» – цифра на английском. Компьютеры хранят информацию в цифровом виде – в виде длинных последовательностей из 0 и 1. Каждая такая битовая последовательность может кодировать числа, буквы, цвета и даже звук или изображение. Например, фотография в компьютере – это набор чисел, каждое из которых определяет яркость и цвет точки. Благодаря цифрам и числам, компьютеры и смартфоны обрабатывают данные, выполняют расчёты и отображают информацию. Любая программа «под капотом» представляет собой числа – код операции и параметры. Таким образом, от простых символов 0 и 1 в двоичном коде строятся сложнейшие приложения. Мир вокруг нас всё больше опирается на цифровое представление данных – а в основе всей этой цифровой революции лежат обычные цифры!